|
QCD – Quantum Chromodynamics, kvantová chromodynamika, teorie silné interakce. Kvarky interagují prostřednictvím polních částic silné interakce – gluonů. Silnou interakcí drží pohromadě kvarky například v neutronech a protonech. Silná interakce je zodpovědná i za soudržnost atomového jádra. K typickým rysům silné interakce patří uvěznění kvarků a jejich asymptotická volnost na malých vzdálenostech. Kvarky – částice, ze kterých jsou tvořeny těžké částice s vnitřní strukturou (hadrony). Hadrony dělíme na baryony složené ze tří kvarků (například protony a neutrony) a na mezony tvořené kvarkem a antikvarkem (například piony). Kvarky se dělí do tří generací, první tvoří kvarky „d“ (down) a „u“ (up), druhou kvarky „s“ (strange) a „c“ (charm) a třetí kvarky „b“ (bottom nebo beauty) a „t“ (top nebo truth). Kvarky mají neceločíselné (třetinové a dvoutřetinové) elektrické náboje. Jsou také nositeli barevného náboje silné interakce. Gluony – intermediální (polní, výměnné) částice silné interakce, která působí na hadrony a je krátkého dosahu. Tato interakce spojuje kvarky v mezony a baryony, udržuje pohromadě neutrony a protony v atomovém jádře a způsobuje některé rychlé rozpady elementárních částic. Celkem známe 8 gluonů. Tyto polní částice jsou nositeli barevného náboje (náboje silného interakce). Tím se silná interakce odlišuje od elektromagnetické a slabé interakce. |
| Hubbardův model |
Ani bouřlivě se rozvíjející výpočetní technika neumožňuje simulace elektronových systémů s mnoha (například 1023) elektrony. V takových situacích se pokoušíme sledovaný systém rozumně zjednodušit. Natolik rozumně, aby ještě popisoval vlastnosti skutečné látky, kterou chceme zkoumat. Představme si, že elektrony mohou být lokalizovány jen v určitých místech, například ve vrcholech pravidelné mříže. Tak je tomu třeba v krystalických látkách, kde je elektron v blízkosti určitého iontu. Nicméně modely elektronů na mříži mají mnohem širší uplatnění a lze pomocí nich obecně modelovat systémy se silně korelovanými elektrony, například vysokoteplotní supravodiče.
K nejjednodušším modelům tohoto typu patří tzv. Hubbardův model. Elektrony jsou kreovány a anihilovány ve vrcholech mříže tak, aby jejich chování odpovídalo energii systému při dané teplotě. Energie systému se skládá ze dvou odlišných členů. První člen je dán interakcí nejbližších sousedů (součet přes všechny dvojice nejbližších vrcholů). Dva nejbližší sousedé <a,b> přispějí k celkové energii výrazem
Vazební konstanta této interakce je označena t, symbol c+ označuje kreaci elektronu se spinem ↑ nebo ↓ v daném vrcholu, symbol c anihilaci. Tento člen umožňuje „přeskakování“ či „tunelování“ elektronů z jednoho vrcholu mříže do druhého. Druhá část energie je součtem přes všechny vrcholy, každý vrchol přispěje k celkové energii výrazem
Symbol n znamená počet jedinců se spinem ↑ nebo ↓ v daném vrcholu. Kladná vazební konstanta U znamená repulzi elektronů na malých vzdálenostech: Pokud je ve vrcholu jeden elektron se spinem ↑ a jeden elektron se spinem ↓, přispějí k celkové energetické bilanci kladnou hodnotou U, pokud je ve vrcholu jediný elektron, přispěje tento vrchol nulovou hodnotou. Za nízkých teplot jsou preferovány stavy s co možná nejnižší energií, tedy jediný elektron ve vrcholu mříže. Oba energetické členy znamenají v jistém smyslu párovou interakci. První člen se týká interakce elektronů ve dvou nejbližších vrcholech mříže. Druhý se týká interakce dvojice elektronů v jednom jediném vrcholu (Coulombická repulze). V reálných materiálech je podíl vazebních konstant U/t mezi 10 až 50.
Model navrhl anglický fyzik John Hubbard (1931–1980) v roce 1963 k popisu chování elektronů v pevných látkách. Pomocí Hubbardova modelu lze snadno simulovat přechod látky mezi vodivým a nevodivým stavem. Dnes se model využívá k popisu chování ultrachladných atomů zachycených v optické mříži. Původní model byl navržen pro dva fermiony, později se objevila i bosonová varianta Hubbardova modelu a různé další užitečné modifikace. Modely se nemusí omezovat na pravoúhlou mříž, interakce nemusí probíhat jen mezi nejbližšími sousedy, ale například i mezi sousedy na úhlopříčce s vazební konstantou t', uvažují se modely v mnoha dimenzích, atd.
V roce 1977 polský fyzik Jozef Špalek upravil Hubbardův model pro velké hodnoty interakční konstanty U do podoby se dvěma párovými interakcemi mezi nejbližšími vrcholy mříže. Model byl nazván podle označení vazebních konstant těchto interakcí jako tzv. t-J model. Člen s vazební konstantou t je podobný prvnímu členu Hubbardova modelu. Druhý člen s vazební konstantou J = 2t2/U obsahuje skalární součin dvou sousedních spinů, obdobně jako Heisenbergův model. Pomocí tohoto modelu se podařilo vysvětlit chování Mottových izolátorů včetně jejich feromagnetizmu. Později se t-J model stal úspěšným i při vysvětlení vysokoteplotní supravodivosti keramických materiálů, například La2−xSrxCuO4, kterou objevili Karl Allex Müller a Johannes George Bednorz v roce 1986.
| Kvantová chromodynamika na mříži (LQCD) |
Z teorie silné interakce, neboli kvantové chromodynamiky (QCD), je velmi obtížné získávat předpovědi přímým výpočtem. U elektromagnetické interakce je energie vazby podstatně menší než klidová energie vázaných částic (například elektronu a protonu v atomu vodíku). U silné interakce je tomu naopak. Energie vazby tří kvarků v protonu je podstatně větší než hmotnosti jednotlivých kvarků. Standardní poruchová teorie (rozvoj řešení do řad) u silné interakce selhává. Se vzdáleností kvarků jejich vzájemné silové působení neubývá, jak tomu je u elektromagnetické interakce, ale naopak roste. To vede k uvěznění kvarků do oblasti o rozměrech 10–15 m a selhání poruchového přístupu. Za běžných podmínek není možné získat volný, nevázaný kvark.
Jednou z možností, jak získávat současnými výpočetními prostředky předpovědi z kvantové chromodynamiky je řešení problému neporuchovým přístupem, například na mříži. Kvarky a gluony jsou lokalizovány ve vrcholech prostorové mříže a mohou se přemisťovat jen podél spojnic. Takové metody se nazývají LQCD (Latice Quantum ChromoDynamics) a jsou v mnohém podobné mřížovým modelům feromagnetik, kterými jsme se zabývali doposud. Přímými předchůdci LQCD jsou Hubbardův model a t-J model.
Čím menší je rozestup vrcholů, tím více se výsledky přibližují skutečnému kontinuu. Často se provádějí výpočty s různou velikostí mříže a výsledky se extrapolují k nulové vzdálenosti vrcholů mříže. Pro částice lokalizované na mříži může maximální hybnost nabývat hodnotu p ~ ħ/a, kde a je mřížková konstanta (vzdálenost vrcholů). Plyne to z Heisenbergových relací neurčitosti. V mřížových modelech jsou tak přirozeným způsobem oříznuty nekonečné hodnoty, které se vyskytují v kvantové chromodynamice na časoprostorovém kontinuu a obtížně se odstraňují pomocí renormalizace. I přes podstatné zjednodušení znamená LQCD výpočty na samé hranici možností dnešních superpočítačů. Výpočty se provádějí pro nerealisticky veliké hmotnosti kvarků. Lehké kvarky mají totiž velkou korelační délku (jsou korelovány i se vzdálenými sousedy) a takové výpočty vyžadují příliš rozsáhlé mříže.
Pomocí LQCD byl zkoumán fázový přechod mezi uvězněnými kvarky a kvarkovým-gluonovým plazmatem. Právě z výpočtů pomocí LQCD vyplynulo, že tento přechod probíhá při energii 170 MeV na částici. Tomu odpovídá teplota řádově 2×1012 K, tedy cca stotisíckrát vyšší teplota, než je v nitru Slunce. Obdobných podmínek se podařilo dosáhnout po šesti letech experimentů v roce 2000 na urychlovači SPS ve středisku CERN, kde bylo objeveno kvarkové-gluonové plazma. LQCD se dnes využívá při simulaci uvěznění kvarků, v teorii strun, při hledání axionů i v mnoha dalších aplikacích.
| Spinový žebřík a uvěznění kvarků |
Uvěznění kvarků v mezonu nebo baryonu je zatím chápáno jen rámcově. Není například jasné, jakou hmotnost budou mít lehčí mezony, na které se rozpadá mezon těžší (když dojde k „přetržení“ gluonové niti). Proto může být užitečné zkoumat podobně uvězněné systémy jiného charakteru. Na konci roku 2009 byl pozorován obdobný jev v tzv. spinových žebřících. Popišme si tento objev podrobněji.
Začněme s jednorozměrným řetězcem antiferomagnetika (obr. 3). V základním stavu jsou sousední spiny seřazeny antiparalelně (opačně orientované spiny přispějí k energii nižší hodnotou než souhlasně orientované spiny). Základní stavy (stavy s nejnižší možnou energií) existují dva (liší se orientací spinů) a při extrémně nízké teplotě dojde k narušení symetrie a výběru jednoho ze dvouzákladních stavů.
Zvýšíme-li nyní teplotu, dojde ke zvýšení energie řetězce. Díky teplotním fluktuacím se objeví oblast obrácených spinů (na obr. 4 je vyznačena červeně). Jde vlastně o část druhého základního stavu, která je vnořena do již existujícího základního stavu. Obrácená oblast je od okolí oddělena tzv. doménovými stěnami (A, B) neboli spinony. Doménová stěna (spinon) je tvořena dvojicí stejně orientovaných spinů, které jsou nositeli teplotní fluktuace (souhlasně orientované spiny mají vyšší energii než nesouhlasně). Takové excitace (spinony) se vždy objevují po dvojicích, jsou nositeli nevykompenzovaného spinu (1/2) v řetězci a celková energie řetězce nezávisí na vzdálenosti obou spinonů. Pohyb spinonu podél řetězce nemění celkovou energii řetězce. Spinon se chová jako volná kvazičástice, která není nijak korelována s druhým spinonem. Oba současně vzniklé spinony nejsou nijak vázané.
Uvažujme nyní dva antiferomagneticky provázané řetězce spinů, tzv. spinový žebřík. Jeden ze dvou základních stavů žebříku je na obr. 5. Pokud nyní zvýšíme teplotu, objeví se v jednom z řetězců opět teplotní fluktuace – oblast obrácených spinů ohraničená dvěma spinony (doménovými stěnami). Situace je ale nyní velmi odlišná. Oblast obrácených spinů má shodný směr se spiny sousedního řetězce a celá oblast tak přispívá ke zvýšení energie žebříku. Čím větší je vzdálenost spinonů A a B (doménových stěn), tím vyšší je energie spinového žebříku. Oba spinony jsou nyní silně vázané a energie jejich vazby roste s jejich vzdáleností! Situace je obdobná dvojici kvarku a antikvarku uvězněné v mezonu. Zde také roste energie vazby se vzdáleností kvarků, což kvarkům neumožňuje uniknout z vázaného stavu. Ani v žebříku se jeden spinon nemůže vzdálit od druhého. Existuje zde i další paralela. Kvarky mají neceločíselný náboj a teprve jejich vázané stavy se navenek jeví tak, jakoby měly celočíselný náboj. Obdobně je každý spinon nositelem nevykompenzovaného spinu (1/2) a teprve dvojice vázaných spinonů má celočíselný spin.
Kvantové žebříky je možné snadno numericky simulovat a zjišťovat tak vlastnosti uvězněných jedinců. Důležité je, že na sklonku roku 2009 Bella Lake z Helmholtzova centra v Berlíně pozoroval se spolupracovníky uvězněné stavy dvou spinonů ve spinovém žebříku i experimentálně. Jednalo se o oxid CaCu2O3. Materiál byl zkoumán za pomoci ohybu neutronů. Při vysokých energiích byly patrné samostatné lineární řetězce s dvojicemi nevázaných spinonů. Při nízkých energiích došlo ke spárování řetězců do spinových žebříků a spinony začaly být vázané obdobným způsobem jako kvarky v baryonech. Mezi spinony ve spinových žebřících a kvarky samozřejmě existuje mnoho rozdílů. Nicméně otevírá se zde mimořádně zajímavá možnost numerických simulací a přímých experimentů s uvězněnými spinony, která může objasnit zatím nevyřešené otázky kvantové chromodynamiky.
Zdroje:
1. Tyler Bryant: Quantum Lattice Models; Oral exam topic 2004
2. Jozef Spalek: t-J model then and now: A personal perspective from the pioneering times; arXiv:0706.4236v1, 2007
3. Petr
Kulhánek: Vysokoteplotní supravodivost; AB 36/2004
4. Rajan Gupta: Introduction to Lattice QCD; arXiv:hep-lat/9807028v1, kurz LANL, 1998
5. Andreas Läuchli: Quantum Lattice Models & Introduction to Exact Diagonalization; IRRMA – EPF Lausanne, ALPS User Workshop CSCS Manno, 2004
6. Julius Kuti: Lattice QCD and String Theory; PoS(LAT2005)001
7. Bella Lake et al.: Confinement of Fractional Quantum Number Particles in a Condensed Matter System; Nature 2009, arxiv.org/pdf/0908.1038
8.Edwin Cartlidge: Quark-like confinement seen in the lab; Physics World, Nov 30, 2009
9. Derek B. Leinweber: Visualizations of Quantum Chromodynamics
